Théorème de continuité sous le signe intégral
Permet de montrer qu'une intégrale à paramètre est continue.
- hypothèses :
- \(\forall t,x\mapsto f(t,x)\) est mesurable
- pour presque tout \(x\), \(t\mapsto f(t,x)\) est continue en \(t_0\)
- il existe \(g\) intégrable tq \(\forall t,\lvert f(t,x)\rvert\overset{pp}\leqslant g(x)\)
- résultats :
- \(\displaystyle t\mapsto \int f(t,x)\,d\mu(x)\) est continue en \(t_0\) : $$\lim_{t\to t_0}\int f(t,x)\,d\mu(x)=\int f(t_0,x)\,d\mu(x)$$
- éléments de preuve : théorème de convergence dominée
Théorème de convergence dominée
